Question

【題目】設函數f（x）=|ex﹣e2a|，若f（x）在區(qū)間（﹣1，3﹣a）內的圖象上存在兩點，在這兩點處的切線互相垂直，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】（﹣ ， ）
【解析】解：當x≥2a時，f（x）=|ex﹣e2a|=ex﹣e2a ， 此時為增函數，
當x＜2a時，f（x）=|ex﹣e2a|=﹣ex+e2a ， 此時為減函數，
即當x=2a時，函數取得最小值0，
設兩個切點為M（x1 ， f（x1）），N（（x2 ， f（x2）），
由圖象知，當兩個切線垂直時，必有，x1＜2a＜x2 ，
即﹣1＜2a＜3﹣a，得﹣ ＜a＜1，
∵k1k2=f′（x1）f′（x2）=ex1（﹣ex2）=﹣ex1+x2=﹣1，
則ex1+x2=1，即x1+x2=0，
∵﹣1＜x1＜0，∴0＜x2＜1，且x2＞2a，
∴2a＜1，解得a＜ ，
綜上﹣ ＜a＜ ，
所以答案是：（﹣ ， ）．