Question

已知函數(shù)y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，則x₀稱是函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)，設(shè)f（x）=

-2x+3

2x-7

（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的不動點(diǎn)；
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的二個不動點(diǎn)a、b（假a＞b），求使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常數(shù)k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用新定義，建立方程，解方程，即可求函數(shù)y=f（x）的不動點(diǎn)；
（Ⅱ）對等式的左邊化簡變形，即可確定恒成立時，常數(shù)k的值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)函數(shù)y=f（x）的一個不動點(diǎn)為x₀，則

-2x0+3

2x0-7

=x0
∴2

x

2 0

-5x₀-3=0，∴x0=-

1

2

或x₀=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=3，b=-

1

2

，∴

f(x)-a

f(x)-b

=

-2x+3 2x-7 -3

-2x+3 2x-7 + 1 2

=8×

x-3

x+ 1 2

∴使

f(x)-a

f(x)-b

=k•

x-a

x-b

恒成立的常數(shù)k=8．

點(diǎn)評：本題考查新定義，考查學(xué)生的計算能力，解題的關(guān)鍵是對新定義的理解，屬于中檔題．