Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，判斷方程在區(qū)間上有無實根；

（3）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 內(nèi)無實數(shù)根；（3）.

【解析】試題分析：（2）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1時函數(shù)的導數(shù)，由點斜式寫出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ）代入m的值，把判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無實根轉化為判斷函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，+∞）上有無零點問題，求導后利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；

（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理變形后把參數(shù)m分離出來，x∈（1，e]時，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，轉化為實數(shù)m小于一個函數(shù)在（1，e]上的最小值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)在（1，e]上的最小值．

試題解析：

（1）時， ， ， ，切點坐標為，

∴切線方程為

（2）時，令，

，∴在上為增函數(shù)，

又，所以在內(nèi)無實數(shù)根.

（3）恒成立，即恒成立.

又，則當時， 恒成立，

令，只需小于的最小值.

，∵，∴，∴時， ，

∴在上單調(diào)遞減，∴在的最小值為，

則的取值范圍是.