Question

（本小題滿分12分）
已知圓的方程為，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）求過點(diǎn)的圓的切線方程；
（Ⅱ）若圓上有兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，并且滿足，求
的值和直線的方程；
（Ⅲ）過點(diǎn)作直線與圓交于兩點(diǎn)，求的最大面積以及此時直線的斜率.

Answer 1

(1)
(2)
(3)的最大面積為8，此時直線的斜率為.

解：（Ⅰ）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑
設(shè)過點(diǎn)的切方程為，即，
則，解得
切線方程為                                       ----------------3分
當(dāng)斜率不存在時，也符合題意.
故求過點(diǎn)的圓的切線方程為：或.    ----------------4分
（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)在圓上且關(guān)于直線對稱，
∴圓心在直線上，代入得.------------------------------5分
因?yàn)橹本�與直線垂直，
所以可以設(shè)，方程為.
將直線代入圓C的方程，得.------------------------------------------6分
,得.
由根與系數(shù)的關(guān)系得
   

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140823/20140823162927565391.gif" style="vertical-align:middle;" />
所以
即,解得,
故所求的直線方程為.--------------------------------8分
（Ⅲ）當(dāng)直線的斜率不存在時,,              ----------------------------9分
當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為，即，
圓心到直線的距離，線段的長度，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時，解得
所以，的最大面積為8，此時直線的斜率為.      --------12分