Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，點E、F、G分別為棱AB、BC、PD的中點，平面AEG與線段PC、PF、PB分別交于點H、I、J，且PA=AD=2．
（1）證明：AE∥GH；
（2）求直線EF與平面AEG所成角的大小，并求線段PI的長度．

Answer 1

分析 （1）由AB∥平面PCD即可得出AB∥GH；
（2）以A為原點建立坐標系，求出$\overrightarrow{EF}$和平面AEG的法向量$\overrightarrow{n}$，則直線EF與平面AEG所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞|，設$\overrightarrow{PI}$=$λ\overrightarrow{PF}$，則$\overrightarrow{n}$$•\overrightarrow{AI}$=0，列方程解出λ．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，又CD?平面PCD，AB?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，
又AB?平面AEG，平面AEG∩平面PCD=GH，
∴AB∥GH．
（2）以A為原點，以AB，AD，AP為坐標軸建立坐標系，如圖所示：
則A（0，0，0），E（1，0，0），F(xiàn)（2，1，0），G（0，1，1），
∴$\overrightarrow{EF}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（1，0，0），$\overrightarrow{AG}$=（0，1，1），
設平面AEG的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overline{AG}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，-1，1）
∴cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴EF與平面AEG所成角的正弦值為$\frac{1}{2}$，
∴EF與平面AEG所成角為30°．
P（0，0，2），$\overrightarrow{PF}$=（2，1，-2），$\overrightarrow{PA}$=（0，0，-2）
設$\overrightarrow{PI}$=λ$\overrightarrow{PF}$=（2λ，λ，-2λ），則$\overrightarrow{AI}$=$\overrightarrow{PI}-\overrightarrow{PA}$=（2λ，λ，2-2λ），
∵AI?平面AEG，∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AI}=0$，
∴-λ+2-2λ=0，解得λ=$\frac{2}{3}$．
∴PI=$\frac{2}{3}$PF=$\frac{2}{3}×$$\sqrt{4+1+4}$=2．

點評 本題考查了線面平行的判定與性質(zhì)，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題．