Question

一船由甲地逆水勻速行駛到乙地，甲乙兩地相距s(千米)，水速為常量p(千米/小時)，船在靜水中的最大速度為q(千米/小時)，且p＜q.已知船每小時的燃料費用(元)與船在靜水中速度v(千米/小時)的平方成正比，比例系數(shù)為k.

（1）把全程燃料費用y(元)表示為靜水中的速度v(千米/小時)的函數(shù)，并指出其定義域.

（2）為了使全程燃料費用最小，船的實際前進速度應為多少？

Answer 1

思路分析：由題意，全程燃料費由每小時的費用及航程時間來決定，所以應先找出每小時的燃料費用及全程航行時間，而第（2）問是求最值問題.是否需用基本不等式，要注意適用的條件，尤其是第（1）問的定義域，水速應小于船的最小速度，所以定義域應是（p,q］.因此，本題若基本不等式的“=”號能滿足即可求得結果，但也存在不能使“=”號成立的情況，因而，也需用函數(shù)的單調性求解.

解：（1）由于船每小時航行的燃料費用是kv²，全程航行時間為，于是全程燃料費用y=kv²·,

故所求函數(shù)是y=ks·(p＜v≤q),定義域是（p,q］.

（2）y=ks·=ks［(v+p)+］

=ks［v-p++2p］≥ks［+2p］=4ksp.

其中取“=”的充要條件是

v-p=,即v=2p.

①當v=2p∈(p,q］,

即2p≤q時，y_min=f(2p)=4ksp.

②當2p?(p,q］,即2p＞q.

任取v₁,v₂∈(p,q］且v₁＜v₂, 則

y₁-y₂=ks［(v₁-v₂)+()］

=［p²-(v₁-p)(v₂-p)］.

而p²-(v₁-p)(v₂-p)＞p²-(q-p)(q-p)

=q(2p-q)＞0.

∴y₁-y₂＞0.

故函數(shù)y在區(qū)間（p,q］內(nèi)遞減，此時y(v)≥y(q).

即y_min=y(q)=ks.

    此時，船的前進速度等于q-p.

    故為使全程燃料費用最小，當2p≤q時，船的實際前進速度應為2p-p=p(千米/小時)；當2p＞q時，船的實際前進速度為q-p（千米/小時）.