【題目】如圖，等邊三角形OAB的邊長為8 ，且三個頂點(diǎn)均在拋物線E：y2=2px（p＞0）上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）證明：A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱；
（2）求拋物線E的方程．

【答案】
（1）證明：設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2），

∵|OA|=|OB|，∴x12+y12=x22+y22．

又∵y12=2px1，y22=2px2，

∴x22﹣x12+2p（x2﹣x1）=0，

即（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．

又∵x1、x2與p同號，∴x1+x2+2p≠0．

∴x2﹣x1=0，即x1=x2．

由拋物線對稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱．


（2）解：由（1）知∠AOx=30°，則y2=2px，x=6p，

∴y= x，y=2 p．

∴A（6p，2 p），

∵等邊三角形OAB的邊長為8 ，

∴（6p）2+（2 p）=（8 ）2．

∴p=2，

∴拋物線E的方程為y2=4x


【解析】（1）A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）根據(jù)|OA|=|OB|可得x12+y12=x22+y22 ． 由于A，B都在拋物線上進(jìn)而滿足y12=2px1 ， y22=2px2 ， 整理可得（x2﹣x1）（x1+x2+2p）=0．根據(jù)x1、x2與p同號可知x1+x2+2p≠0進(jìn)而可得x1=x2 ． 根據(jù)拋物線對稱性，知點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱．（2）由（1）可知∠AOx=30°，進(jìn)而根據(jù)拋物線和直線方程求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用等邊三角形OAB的邊長為8 ，可得p，即可求拋物線E的方程．

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（1）作出函數(shù)f（x）的大致圖象；
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D.13+6 +4πcm2

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（2）函數(shù)的圖象上有如圖所示的A，B，C三點(diǎn)，且滿足AB⊥BC． ①求ω的值；
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（1）求該拋物線的方程；
（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若 ，求λ的值．

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A.
B.
C.
D.

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