Question

已知數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，a₁=

3

2

，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=a₁，b₂=-a₃，b₃=a₄，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，記點(diǎn)Q_n（b_n，S_n），n∈N^*．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：點(diǎn)Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n、…在同一直線l上，并求出直線l方程；
（3）若A≤S_n-

1

Sn

≤B對(duì)n∈N^*恒成立，求B-A的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，由題意可得

3 2 +2d=- 3 2 q 3 2 +3d= 3 2 q2

，解方程組可得；
（2）由題意可得x=b_n=-3×(-

1

2

)n，y=S_n=1-（-

1

2

）ⁿ，；消去（-

1

2

）ⁿ可得；
（3）令t=S_n-

1

Sn

，由單調(diào)性可得t_min=-

7

12

，t_max=

5

6

，由題意可得[-

7

12

，

5

6

]⊆[A，B]，易得B-A的最小值為

17

12

．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
則由題意可得

3 2 +2d=- 3 2 q 3 2 +3d= 3 2 q2

，解得

q=- 1 2 d=- 3 8

或

q=-1 d=0

，
∵數(shù)列{a_n}是公差不為0的等差數(shù)列，∴q=-

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=-3×(-

1

2

)n；
（2）∵Q_n（b_n，S_n），∴x=b_n=-3×(-

1

2

)n，
y=S_n=

3 2 [1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

=1-（-

1

2

）ⁿ，；
∴消去（-

1

2

）ⁿ可得y=

1

3

x+1，
∴點(diǎn)Q₁、Q₂、Q₃、…、Q_n、…在同一直線l：y=

1

3

x+1上；
（3）由（2）可知S_n=1-（-

1

2

）ⁿ，令t=S_n-

1

Sn

，
∵S_n＞0，∴t隨著S_n的增大而增大，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=1+（

1

2

）ⁿ在奇數(shù)集上單調(diào)遞減，S_n∈（1，

3

2

]，t∈（0，

5

6

]，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=1-（

1

2

）ⁿ在偶數(shù)集上單調(diào)遞增，S_n∈[

3

4

，1），t∈[-

7

12

，0），
∴t_min=-

7

12

，t_max=

5

6

，∵A≤S_n-

1

Sn

≤B對(duì)n∈N^*恒成立，
∴[-

7

12

，

5

6

]⊆[A，B]，∴B-A的最小值為

5

6

-（-

7

12

）=

17

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，涉及恒成立和函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想，屬中檔題．