【題目】如圖,已知,,分別為的中點,,將沿折起,得到四棱錐,為的中點.
(1)證明:平面;
(2)當(dāng)正視圖方向與向量的方向相同時,的正視圖為直角三角形,求此時二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2)
【解析】
(1)根據(jù)題意可知,由三線合一可證明,進而由線面垂直的判定可證明平面;
(2)先證明,然后以為原點,為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個點的坐標(biāo),并求得平面的一個法向量,為平面的一個法向量,即可由二面角的向量求法求得二面角的余弦值.
(1)由平面圖可知,,,,
所以平面,所以.
因為為的中點,,
∴.
因為,
所以平面.
(2)因為的正視圖與全等,所以為直角三角形,故.
以為原點,為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示,
則,,,,,,
所以,,,
設(shè)平面的一個法向量為,則,
∴,令,∴,
因為為平面的一個法向量,設(shè)二面角為,
所以,
因為二面角為鈍角,所以,
故二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=
(e為自然對數(shù)的底數(shù)),則f(e)=________,函數(shù)y=f(f(x))-1的零點個數(shù)為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B是拋物線上的兩點,且在x軸兩側(cè),若AB的中點為Q,分別過A,B兩點作T的切線,且兩切線相交于點P.
(1)求證:直線PQ平行于x軸;
(2)若直線AB經(jīng)過拋物線T的焦點,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會必須打好的三大攻堅戰(zhàn)之一,為堅決打贏脫貧攻堅戰(zhàn),某幫扶單位考察了甲乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式,現(xiàn)對兩種生產(chǎn)方式加工的產(chǎn)品質(zhì)量進行測試并打分對比,得到如下數(shù)據(jù):
生產(chǎn)方式甲 | 分值區(qū)間 | |||||
頻數(shù) | 20 | 30 | 100 | 40 | 10 | |
生產(chǎn)方式乙 | 分值區(qū)間 | |||||
頻數(shù) | 25 | 35 | 60 | 50 | 30 |
其中產(chǎn)品質(zhì)量按測試指標(biāo)可劃分為:指標(biāo)在區(qū)間上的為特優(yōu)品,指標(biāo)在區(qū)間上的為一等品,指標(biāo)在區(qū)間上的為二等品.
(1)用事件表示“按照生產(chǎn)方式甲生產(chǎn)的產(chǎn)品為特優(yōu)品”,估計的概率;
(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為“特優(yōu)品”與生產(chǎn)方式有關(guān)?
特優(yōu)品 | 非特優(yōu)品 | |
生產(chǎn)方式甲 | ||
生產(chǎn)方式乙 |
(3)根據(jù)打分結(jié)果對甲乙兩種生產(chǎn)方式進行優(yōu)劣比較.
附表:
0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式:,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的離心率為,且過點. 為橢圓的右焦點, 為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點,連接分別交橢圓于兩點.
⑴求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵若,求的值;
⑶設(shè)直線, 的斜率分別為, ,是否存在實數(shù),使得,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面凸六邊形的邊長相等,其中為矩形,.將,分別沿,折至,,且均在同側(cè)與平面垂直,連接,如圖所示,E,G分別是,的中點.
(1)求證:多面體為直三棱柱;
(2)求二面角平面角的余弦值.
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