【題目】已知A,B是拋物線上的兩點(diǎn),且在x軸兩側(cè),若AB的中點(diǎn)為Q,分別過(guò)A,B兩點(diǎn)作T的切線,且兩切線相交于點(diǎn)P.

1)求證:直線PQ平行于x軸;

2)若直線AB經(jīng)過(guò)拋物線T的焦點(diǎn),求面積的最小值.

【答案】1)證明見解析;(24

【解析】

1)分別求出拋物線T在點(diǎn)處切線的斜率,寫出切線方程,將兩切線方程聯(lián)立解出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),再求出點(diǎn)Q的縱坐標(biāo),即可判斷直線PQx軸平行;

2)把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)代入切線方程求出橫坐標(biāo),得到點(diǎn)P的坐標(biāo),把直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出,,從而求出點(diǎn)P到直線AB的距離d以及,再列出面積的表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值即可求解.

解:由題意,不妨設(shè)A在第一象限,B在第四象限.

設(shè),.

1)證明:拋物線在第一象限內(nèi)的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為求導(dǎo)可得,

所以過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率,

所以直線AP的方程為,

代入化簡(jiǎn)得,

同理可得直線BP的方程為,

聯(lián)立方程消去x

P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.

又因?yàn)?/span>Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,

所以直線PQ平行于x.

2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

由(1)知,

代入直線BP的方程

解得,所以.

因?yàn)閽佄锞焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,且直線AB的斜率不為零,

所以設(shè)直線AB的方程為

將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,

,'消去x,

因?yàn)?/span>,

所以.

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為,

設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d,

又因?yàn)?/span>

,

所以

.

故當(dāng)時(shí),的面積取得最小值,最小值為4.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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