Question

如圖，在四面體 P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=3，AC=4，BC=5，且D，E分別為BC，PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面ADE．
（2）求證：AC⊥PB．

Answer 1

分析：（1）由D、E分別是棱BC、PC的中點(diǎn)，可得DE∥PB，根據(jù)線面平行的判定定理可證
（2）由勾股定理容易證AC⊥AB，由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC，由線面垂直的判定定理可證AC⊥平面PAB，進(jìn)而可證AC⊥PB

解答：證明（1）：因?yàn)镈、E分別是棱BC、PC的中點(diǎn)，
DE∥PB． …（4分）
又PB?平面ADE，DE?平面ADE
∴PB∥平面ADE…（5分）
（2）：在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴AB²+AC²=BC²
∴AC⊥AB…（6分）
又PA⊥平面ABC，AC?平面ABC
∴PA⊥AC．…（7分）
又PA∩AB=A
∴AC⊥平面PAB．…（8分）
而PB?平面PAB
∴AC⊥PB…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面平行與線面垂直的判定定理的應(yīng)用，線線關(guān)系與線面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)試題