Question

如圖，在四面體P-ABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D、E、F、G分別是棱AP、AC、CB、BP的中點(diǎn)；
（1）求證：DE∥平面BCP；
（2）求證：四邊形DEFG為矩形．

Answer 1

分析：（1）要證DE∥平面BCP根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理需證明DE與平面BCP內(nèi)的一條直線(xiàn)平行而者可通過(guò)D、E、F、G分別是棱AP、AC、CB、BP的中點(diǎn)利用中位線(xiàn)定理和平行的傳遞性即可得出DE

∥

.

GF．
（2）根據(jù)（1）可得DE

∥

.

GF即四邊形DEFG為平行四邊形再利用PC⊥AB和中位線(xiàn)定理可得DE⊥DG故四邊形DEFG為矩形．

解答：證明：（1）∵D、E、F、G分別是棱AP、AC、CB、BP的中點(diǎn)
∴DE

∥

.

1

2

PC，GF

∥

.

1

2

PC
∴DE

∥

.

GF
∵DE?平面BCP，GF⊆平面BCP
∴DE∥平面BCP
（2）由（1）可得DE

∥

.

GF，DG

∥

.

EF
∴四邊形DEFG為平行四邊形
∵PC⊥AB，DE

∥

.

1

2

PC，DG

∥

.

1

2

AB
∴DE⊥DG
∴四邊形DEFG為矩形

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察線(xiàn)面平行的判定和矩形的證明，屬常考題，較難．解題的關(guān)鍵是透徹理解線(xiàn)面平行的判定定理和平面四邊形為矩形的判定定理，同時(shí)要注意中位線(xiàn)定理在本題中的應(yīng)用！