Question

（2006•奉賢區(qū)一模）函數(shù)y=f（x），x∈R滿足f（x+1）=af（x），a是不為0的常數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x（1-x），
（1）若函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)，寫(xiě)出符合條件a的值；
（2）求n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)，求y=f（x）的表達(dá)式y(tǒng)=f_n（x）；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x+1）=af（x），函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)，求出a的值，然后分別求出a所對(duì)應(yīng)的周期；
（2）利用遞推關(guān)系可得f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），然后將x-n代入當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）的解析式；
（3）要使函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，而f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），則-

1

4

|a|n≤fn(x)≤

1

4

|a|n，討論|a|與1的大小，驗(yàn)證函數(shù)y=f（x）在[0，+∞）上的值域是否是閉區(qū)間即可．

解答：解：（1）∵f（x+1）=af（x），函數(shù)y=f（x），x∈R是周期函數(shù)
∴a=±1
當(dāng)a=1時(shí)，f（x+1）=f（x），則T=1（3分）
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x+1）=-f（x），則f（x+2）=f（x），則T=2（6分）
（2）n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）時(shí)
f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n）（9分）
∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x）（9分）
（3）∵f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），
∴-

1

4

|a|n≤fn(x)≤

1

4

|a|n（14分）
當(dāng)|a|＞1時(shí)f（x）∈（-∞，+∞）舍去
當(dāng)a=1時(shí)f(x)∈[0，

1

4

]符合
當(dāng)a=-1時(shí)f(x)∈[-

1

4

，

1

4

]符合
當(dāng)0＜a＜1時(shí)f(x)∈[0，

1

4

]符合
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)f(x)∈[0，

1

4

]符合
∴a∈[-1，0）∪（0，1]（18分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期性，以及函數(shù)解析式和函數(shù)再給定區(qū)間上的值域，屬于中檔題．