Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）極大值，無極小值（2）答案不唯一，具體見解析（3）

【解析】

（1）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)、列表、判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)極值的定義進(jìn)行求解即可；

（2）對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)實(shí)數(shù)的正負(fù)性，分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，進(jìn)行判斷單調(diào)性即可；

（3）對進(jìn)行常變量分離，然后構(gòu)造新函數(shù)，對新函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進(jìn)而求出新函數(shù)的最值，最后根據(jù)題意求出的取值范圍即可.

解：（1）.令，得.

	正	0	負(fù)
	單調(diào)增大	極大值	單調(diào)減少

所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值為：，無極小值；

（2），

當(dāng)時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，若，，∴在單調(diào)遞增；

若，，∴在單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（3）對，恒成立，對，恒成立，令，.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以，因此.