某工藝品廠要生產(chǎn)如圖所示的一種工藝品,該工藝品由一個圓柱和一個半球組成,要求半球的半徑和圓柱的底面半徑之比為3:2,工藝品的體積為34πcm3.設(shè)圓柱的底面直徑為4x(cm),工藝品的表面積為S(cm2).
(1)試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)怎樣設(shè)計才能使工藝品的表面積最。

解:(1)由題知圓柱的底面半徑為2x,半球的半徑為3x.
設(shè)圓柱的高為h(cm).因為工藝品的體積為34πcm3,所以,
所以,所以工藝品的表面積為

=
=
由x>0且h=,得0
所以S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是S=17π
(2)由(1)知,令S'=0,得x=1.
當(dāng)0<x<1時,S'<0,所以S關(guān)于x∈(0,1]是單調(diào)減函數(shù);
當(dāng)1<x<時,S'>0,所以S關(guān)于x∈是單調(diào)增函數(shù).
所以,當(dāng)x=1時,S取得最小值=51π,此時h=4.
答:按照圓柱的高為4cm,圓柱的底面半徑為2cm,半球的半徑為3cm設(shè)計,工藝品的表面積最小,為51πcm2
分析:(1)由題知圓柱的底面半徑為2x,半球的半徑為3x.設(shè)圓柱的高為h(cm).通過試工藝品的體積,求出圓柱的高于底面半徑的關(guān)系,然后寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)利用(1)的表達式,通過導(dǎo)數(shù),求出極值點,說明高、底面半徑、球的半徑的數(shù)值使工藝品的表面積最。
點評:本題是中檔題,考查空間想象能力,邏輯思維能力,體積計算能力,能夠正確求出表面積的表達式是解好本題的關(guān)鍵,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值是常用方法.
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(1)試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
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