Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-2|，g（x）=|x-3|+|x-2|．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值三角不等式求得函數(shù)f（x）的最小值．
（2）g（a）≤f（x）_min=3，解此絕對值不等式，求得a的范圍．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，當且僅當（x+1）（x-2）≤0，
即x∈[-1，2]時，取等號，此時f（x）_min=3．
（2）對任意的x∈R，不等式g（a）≤f（x）恒成立，?g（a）≤f（x）_min=3，
?g（a）≤f（x）_min=3，$?\left\{\begin{array}{l}a≤2\\ 3-a+2-a≤3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}2＜a＜3\\ 3-a+a-2≤3\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}a≥3\\ a-3+a-2≤3\end{array}\right.$，
?1≤a≤2，或2＜a＜3，或3≤a≤4，?1≤a≤4．
所以，實數(shù)a的取值范圍為[1，4]．

點評 本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，絕對值不等式的解法，屬于中檔題．