Question

19．已知x，y為任意實數(shù)，有a=2x+y，b=2x-y，c=y-1
（1）若4x+y=2，求a²+b²+c²的最小值；
（2）求|a|，|b|，|c|三個數(shù)中最大數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用消元法，消去y，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求解最小值即可．
（2）設(shè)定最大數(shù)的集合，利用最大數(shù)構(gòu)造不等式的基本性質(zhì)求解即可．

解答 解：（1）由題意：a=2x+y，b=2x-y，c=y-1，
∵4x+y=2，
∴y=2-4x
那么：a²+b²+c²=4-8x+4x²+36x²-24x+4+1-8x+16x²=56x²+40x+9=56（$x-\frac{5}{14}$）²+$\frac{13}{7}$
∴當(dāng)x=$\frac{5}{14}$時，a²+b²+c²取得最小值為$\frac{13}{7}$．
（2）設(shè)M_max={|a|，|b|，|c|}，
則M≥|a|，M≥|b|，M≥|c|，
4M≥|a|+|b|+2|c|≥|a-b-2c|=2，
∴M$≥\frac{1}{2}$．
所以|a|，|b|，|c|三個數(shù)中最大數(shù)的最小值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用消元法消去一個未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解最值的問題和利用不等式的基本性質(zhì)求解最值的思想．屬于中檔題．