已知以原點O為中心,為右焦點的雙曲線C的離心率
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程;
(2)如圖,已知過點M(x1,y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點N(x2,y2)(其中x2≠x)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點,求△OGH的面積.


【答案】分析:(1)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),由題意知a=2,b=1,由此可求出C的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程.
(2)由題意知,點E(xE,yE)在直線l1:x1x+4y1y=4和l2:x2x+4y2y=4上,因此直線MN的方程為xEx+4yEy=4.設(shè)G,H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點,則,設(shè)MN與x軸的交戰(zhàn)為Q,則,由此可求△OGH的面積.
解答:解:(1)設(shè)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),
則由題意知,
∴a=2,b=1,
∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
∴C的漸近線方程為,即x-2y=0和x+2y=0.
(2)由題意知,點E(xE,yE)在直線l1:x1x+4y1y=4和l2:x2x+4y2y=4上,
因此有xEx+4yEy=4上,因此直線MN的方程為xEx+4yEy=4.
設(shè)G,H分別是直線MN與漸近線x-2y=0及x+2y=0的交點,
由方程組,解得,
設(shè)MN與x軸的交戰(zhàn)為Q,則在直線xEx+4yEy=4k,令y=0得
∵xE2-4yE2=4,

=
=
點評:本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用,難度較大,解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘隱含條件,仔細解答.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知以原點O為中心,F(
5
,0)
為右焦點的雙曲線C的離心率e=
5
2

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方程;
(2)如圖,已知過點M(x1,y1)的直線l1:x1x+4y1y=4與過點N(x2,y2)(其中x2≠x)的直線l2:x2x+4y2y=4的交點E在雙曲線C上,直線MN與兩條漸近線分別交與G、H兩點,求△OGH的面積.精英家教網(wǎng)精英家教網(wǎng)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知以原點O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為y=
4
3
3
,離心率e=
3
2
,M是橢圓上的動點
(Ⅰ)若C,D的坐標(biāo)分別是(0,-
3
),(0,
3
)
,求|MC|•|MD|的最大值;
(Ⅱ)如題(20)圖,點A的坐標(biāo)為(1,0),B是圓x2+y2=1上的點,N是點M在x軸上的射影,點Q滿足條件:
OQ
=
OM
+
ON
,
QA
BA
=0
、求線段QB的中點P的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知以原點O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為x=
5
5
,離心率e=
5

(Ⅰ)求該雙曲線的方程;
(Ⅱ)如圖,點A的坐標(biāo)為(-
5
,0)
,B是圓x2+(y-
5
)2=1
上的點,點M在雙曲線右支上,|MA|+|MB|的最小值,并求此時M點的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:重慶市高考真題 題型:解答題

已知以原點O為中心的橢圓的一條準(zhǔn)線方程為,離心率,M是橢圓上的動點,
(Ⅰ)若C,D的坐標(biāo)分別是(0,),(0,),求|MC|·|MD|的最大值;
(Ⅱ)如圖,點A的坐標(biāo)為(1,0),B是圓x2+y2=1上的點,N是點M在x軸上的射影,點Q滿足條件:,,求線段QB的中點P的軌跡方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知以原點O為中心的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為,離心率
(Ⅰ)求該雙曲線的方程;
(Ⅱ)如圖,點A的坐標(biāo)為,B是圓上的點,點M在雙曲線右支上,|MA|+|MB|的最小值,并求此時M點的坐標(biāo).

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