Question

如圖所示，圓O的直徑AB=6．C為圓周上一點(diǎn)，BC=3過C作圓的切線l，過A作l的垂線AD，AD分別與直線l、圓交于點(diǎn)D，E，則線段AE的長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：推理和證明

分析：根據(jù)所給的圓的直徑和BC的長，得到三角形的一個(gè)銳角是30°，根據(jù)同弧所對的圓周角等于弦切角，得到∠B=∠ACD=60°，∠DAC=30°，從而DC=

1

2

AC=

3 3

2

，AD=

AC2-DC2

=

27- 27 4

=

9

2

，再由切割線定理能求出AE．

解答： 解：∵圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3
∴∠BAC=30°，∠B=60°，AC=

36-9

=3

3

，
∵過C作圓的切線l
∴∠B=∠ACD=60°，
∵過A作l的垂線AD，垂足為D
∴∠DAC=30°，∴DC=

1

2

AC=

3 3

2

，AD=

AC2-DC2

=

27- 27 4

=

9

2

，
∵DC是切線，DEA是割線，
∴DC²=DE•DA，∴

27

4

=DE•

9

2

，解得DE=

3

2

，
∴AE=AD-DE=

9

2

-

3

2

=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評：本題與圓有關(guān)的線段長的求法，是中檔題，解題的關(guān)鍵是同弧所對的圓周角和弦切角相等和含有30°角的直角三角形的應(yīng)用，解題時(shí)要注意切割線定理的合理運(yùn)用．