Question

17．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，直線l：y=m（x-1）與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，若S_△AOF=3S_△BOF，則實(shí)數(shù)m的值為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求得F（1，0），設(shè)A，B的縱坐標(biāo)為y₁，y₂，則由S_△AOF=3S_△BOF，求得y₁+3y₂=0，聯(lián)立直線方程和拋物線的方程，消去x，得到y(tǒng)的二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，解方程即可得到m的值．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)F（1，0），
設(shè)A，B的縱坐標(biāo)為y₁，y₂，
則由S_△AOF=3S_△BOF，得$\frac{1}{2}$|OF||y₁|=3•$\frac{1}{2}$|OF||y₂|，
即y₁+3y₂=0，
由直線y=m（x-1），代入拋物線的方程，消去x，可得
$\frac{m}{4}$y²-y-m=0，即有y₁+y₂=$\frac{4}{m}$，y₁y₂=-4，
解得m=±$\sqrt{3}$．
由于A在第一象限，可得m＞0，即m=$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的方程和運(yùn)用、直線與拋物線相交問題、三角形面積之比，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．