Question

8．已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在同一個(gè)周期內(nèi)的圖象上有一個(gè)最大值點(diǎn)A（$\frac{π}{6}$，3）和一個(gè)最小值點(diǎn)B（$\frac{2π}{3}$，-5）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換可以將f（x）的圖象變換為g（x）=cosx的圖象．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出b和A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由條件利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）
在同一個(gè)周期內(nèi)的圖象上有一個(gè)最大值點(diǎn)A（$\frac{π}{6}$，3）和一個(gè)最小值點(diǎn)B（$\frac{2π}{3}$，-5），
可得b=$\frac{3-5}{2}$=-1，a=3-（-1）=4，$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{3}$-$\frac{π}{6}$，求得ω=2．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$，求得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=4cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1．
（2）將f（x）的圖象向上平移一個(gè)單位可得y=4cos（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的$\frac{1}{4}$倍，可得y=cos（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象；
再把圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，可得y=cos[2（x-$\frac{π}{12}$）+$\frac{π}{6}$]=cos2x的圖象；
再把所得圖象上點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，可得g（x）=cosx的圖象．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出b和A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．