Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（-

3

，-1）．
（1）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓P的方程；
（2）若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1）且被圓P截得的弦長(zhǎng)為2

3

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專(zhuān)題：直線與圓

分析：（1）設(shè)圓的一般方程，利用待定系數(shù)法即可求圓C的方程；
（2）根據(jù)直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式，以及結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
∵圓經(jīng)過(guò)三個(gè)點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)C（-

3

，-1）．
∴

4+2D+F=0 4+2E+F=0 4- 3 D-E+F=0

，解得D=0，E=0，F(xiàn)=-4，
即圓P的方程為x²+y²=4．
（2）當(dāng)直線斜率k不存在時(shí)，直線方程為x=1，代入x²+y²=4．
得y₁=

3

或y₂=-

3

，
故弦長(zhǎng)|y₁-y₂|=2

3

，
設(shè)點(diǎn)C到直線M得y=

3

，滿(mǎn)足條件．
當(dāng)直線斜率k存在時(shí)，
設(shè)所求的方程為y-1=k（x-1），即kx-y-k+1=0，
由已知弦心距d=

22-3

=1，
∴

|-k+1|

1+k2

=1，解得k=0，
即直線方程為y=1，
綜上所求的直線方程為x=1或y=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和圓的方程的應(yīng)用，利用待定系數(shù)法結(jié)合點(diǎn)到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．