Question

已知數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足下列條件：x₁=a，x₂=b，x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），其中a、b為常數(shù)，且a＜b，λ為非零常數(shù)，猜想x_n的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：先根據(jù)題意得到數(shù)列{x_n+1-x_n}是首項(xiàng)為b-a，公比為λ的等比數(shù)列，繼而利用累加法求得x_n的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納證明即可

解答： 證明：∵x_n+1-（λ+1）x_n+λx_n-1=0（n∈N^*且n≥2），λ為非零常數(shù)，
∴x_n+1-x_n=λ（x_n-x_n-1），
∵x₁=a，x₂=b，其中a、b為常數(shù)，且a＜b，
∴x₂-x₁=b-a＞0，
∴數(shù)列{x_n+1-x_n}是首項(xiàng)為b-a，公比為λ的等比數(shù)列，
故x_n+1-x_n=（b-a）λ^n-1，
∴x₂-x₁=b-a，
x₃-x₂=（b-a）λ，
x₄-x₃=（b-a）λ²，
…
x_n-x_n-1=（b-a）λ^n-2，
累加得x_n-a=（b-a）（1+λ+λ²+…+λ^n-2）
當(dāng)λ=1時(shí)，原數(shù)列為等差數(shù)列，x_n=（n-1）（b-a）+a
當(dāng)λ≠1時(shí)，x_n=（b-a）

1-λn-1

1-λ

+a，
用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①當(dāng)n=1，n=2時(shí)，顯然成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k成立，即x_k=（b-a）

1-λk-1

1-λ

+a，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，x_k+1=x_k+（b-a）λ^k-1=（b-a）

1-λk-1

1-λ

+a+（b-a）λ^k-1=（b-a）

1-λk

1-λ

+a
即當(dāng)n=n=k+1時(shí)成立，
由①②可得當(dāng)λ≠1時(shí)，x_n=（b-a）

1-λn-1

1-λ

+a，

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立，屬于中檔題