Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b的值域?yàn)閇4，+∞），若關(guān)于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），則實(shí)數(shù)c的值為_(kāi)_______．

Answer 1

13
分析：由于函數(shù)f（x）=x²+ax+b的值域?yàn)閇4，+∞），所以f（x）-4≥0，得到△=0；再由f（x）＜c的解集為（m，m+6），得f（x）-c=0的根為m，m+6，由兩根差的絕對(duì)值可得一等式，從而聯(lián)立方程組解得c值．
解答：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x²+ax+b的值域?yàn)閇4，+∞），所以x²+ax+b-4≥0，
所以△=a²-4（b-4）=0，即a²-4b+16=0①
又f（x）＜c的解集為（m，m+6），所以f（x）-c=x²+ax+b-c=0的根為m，m+6．
令x₁=m，x₂=m+6，則|x₁-x₂|=6，故-4x₁x₂=36．
即a²-4（b-c）=36．②
聯(lián)立①②解得c=13．
故答案為：13．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力．