Question

13．直線ax+2by+2=0與圓x²+y²=2相切，切點在第一象限內(nèi)，則$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得a＞0，b＞0 且即$\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}}$=$\sqrt{2}$．故有a²+4b²=2，再利用基本不等式求出$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值．

解答 解：若直線ax+2by+2=0與圓x²+y²=2相切于第一象限，則 a＞0，b＞0 且圓心到直線的距離等于半徑，即 $\frac{2}{\sqrt{{a}^{2}+4^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
故有 a²+4b²=2，
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+4b²）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$+$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$）≥$\frac{1}{2}$（5+4）=$\frac{9}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時，等號成立，即 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$的最小值為$\frac{9}{2}$，
故答案為$\frac{9}{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．