Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導函數(shù)．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間；
（2）若f（x）=2f′（x），求

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（1）先求出原函數(shù)的導函數(shù)，然后代入F（x）的解析式化簡，化簡后由周期公式求周期，由復合函數(shù)單調性求單調增區(qū)間；
（2）根據(jù)f（x）=2f′（x），可以求出tanx的值，把要求值的分式弦化切，則結果可求．

解答：解：（1）因為f（x）=sinx+cosx，所以f'（x）=cosx-sinx，
所以F(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)+(sinx+cosx)2=cos2x+1+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)+1，
所以T=π；
由2x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，得x∈[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）
單調遞增區(qū)間為[kπ-

3

8

π，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）由f（x）=2f′（x），得：sinx+cosx=2cosx-2sinx，即tanx=

1

3

所以

1+sin2x

cos2x-sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

2tan2x+1

1-tanx

=

11

6

．

點評：本題考查了導數(shù)的運算法則，三角函數(shù)中的恒等變換應用及復合函數(shù)的單調性，復合函數(shù)的單調性遵循同增異減原則，三角函數(shù)的化簡與求值，是齊次式的一般是采用弦化切．