Question

3．已知8sinα+10cosβ=5，8cosα+10sinβ=5$\sqrt{3}$．求證：sin（α+β）=-sin（$\frac{π}{3}$+α）

Answer 1

分析 由題意可得：8sinα+10cosβ=10cos$\frac{π}{3}$…（1），8cosα+10sinβ=10sin$\frac{π}{3}$…（2），由（1）²+（2）²可解得：8=-20sin（α+β）．由（1）×sinα+（2）×cosα得：8+10sin（α+β）=10sin（$\frac{π}{3}$+α），代入上式結(jié)論即可得證．

解答 證明：∵8sinα+10cosβ=5=10cos$\frac{π}{3}$…（1）
8cosα+10sinβ=5$\sqrt{3}$=10sin$\frac{π}{3}$…（2）
∴（1）²+（2）²得：64+100+160sin（α+β）=100，
⇒64=-160sin（α+β）．
⇒8=-20sin（α+β）．
∴（1）×sinα+（2）×cosα得：8+10sin（α+β）=10sin（$\frac{π}{3}$+α），
⇒-20sin（α+β）+10sin（α+β）=10sin（$\frac{π}{3}$+α），
⇒sin（α+β）=-sin（$\frac{π}{3}$+α），得證．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)恒等式的證明，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．