Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*）；數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a²_n+1-a²_n（n∈N^*）．（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{4（n+1）b_n}的前n項和T_n；
（3）數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項成等差數(shù)列？若存在，求出這三項，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出{1-${{a}_{n}}^{2}$}是首項為$\frac{3}{4}$，公比為$\frac{2}{3}$，由此能求出數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式．
（2）由4（n+1）b_n=4（n+1）•$\frac{3}{8}•（\frac{3}{2}）^{n}$=（n+1）（$\frac{3}{2}$）ⁿ⁺¹，利用錯位相減法能求出數(shù)列{4（n+1）b_n}的前n項和．
（3）假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在不同的三項b_m，b_n，b_q成等差數(shù)列，推導(dǎo)出2（$\frac{3}{2}$）ⁿ=（$\frac{3}{2}$）^m+（$\frac{3}{2}$）^q．由m，n，q∈N^*，且m，n，q互不相相等，得滿足條件的m，n，q不存在，從而數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項成等差數(shù)列．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}$=$\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n∈N^*），
∴3（$1-{{a}_{n+1}}^{2}$）=2（1-${{a}_{n}}^{2}$），
∴$\frac{1-{{a}_{n+1}}^{2}}{1-{{a}_{n}}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
又${a}_{1}=\frac{1}{2}$，1-${{a}_{1}}^{2}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
∴{1-${{a}_{n}}^{2}$}是首項為$\frac{3}{4}$，公比為$\frac{2}{3}$，
∴$1-{{a}_{n}}^{2}$=（$\frac{3}{4}$）•（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴${{a}_{n}}^{2}$=1-（$\frac{3}{4}$）•（$\frac{2}{3}$）^n-1，
∴${a}_{n}=\sqrt{1-（\frac{3}{4}）（\frac{2}{3}）^{n-1}}$．
b_n=a²_n+1-a²_n（n∈N^*）
=1-（$\frac{3}{4}$）（$\frac{2}{3}$）ⁿ-1+（$\frac{3}{4}$）（$\frac{2}{3}$）^n-1
=$\frac{3}{4}$[（$\frac{2}{3}$）^n-1-（$\frac{2}{3}$）ⁿ]
=$\frac{3}{8}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ．
（2）∵4（n+1）b_n=4（n+1）•$\frac{3}{8}•（\frac{3}{2}）^{n}$=（n+1）（$\frac{3}{2}$）ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{4（n+1）b_n}的前n項和：
T_n=2×$（\frac{3}{2}）^{2}$+3×（$\frac{3}{2}$）³+…+（n+1）×$（\frac{3}{2}）^{n+1}$，①
$\frac{3}{2}{T}_{n}$=$2×（\frac{3}{2}）^{3}+3×（\frac{3}{2}）^{4}+…+（n+1）×（\frac{3}{2}）^{n+2}$，②
①-②，得：
-$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{9}{2}$+[（$\frac{3}{2}$）³+（$\frac{3}{2}$）⁴+…+（$\frac{3}{2}$）ⁿ⁺¹]-（n+1）×（$\frac{3}{2}$）ⁿ⁺²
=$\frac{9}{2}$+$\frac{\frac{27}{8}[1-（\frac{3}{2}）^{n-1}]}{1-\frac{3}{2}}$-（n+1）×$（\frac{3}{2}）^{n+2}$
=$\frac{9}{2}$+$\frac{27}{4}$[-1+（$\frac{3}{2}$）^n-1]-（n+1）×（$\frac{3}{2}$）ⁿ⁺²
=-$\frac{9}{4}$+（1-n）×（$\frac{3}{2}$）ⁿ⁺²
∴T_n=$\frac{9}{2}$-2（n-1）×（$\frac{3}{2}$）ⁿ⁺²．
（3）假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在不同的三項b_m，b_n，b_q成等差數(shù)列，
則2•$\frac{3}{8}$•（$\frac{3}{2}$）ⁿ=$\frac{3}{8}$•（$\frac{3}{2}$）^m+$\frac{3}{8}$•（$\frac{3}{2}$）^q．
∴2（$\frac{3}{2}$）ⁿ=（$\frac{3}{2}$）^m+（$\frac{3}{2}$）^q．
解得m=n=q=0或m=n=q=1，
∵m，n，q∈N^*，且m，n，q互不相相等，
∴滿足條件的m，n，q不存在，
∴數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項成等差數(shù)列．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查數(shù)列中是否存在不同的三項成等差數(shù)列的判斷，難度大，綜合性強，解題時要注意構(gòu)造法和錯位相減法的合理運用．