Question

18．已知直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$與圓$C：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.，（θ為參數(shù)）$，
（1）求證：直線l與圓C相交；
（2）設(shè)直線l與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，又已知點(diǎn)P（m，0），m∈R，求||PA|-|PB||的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l消去參數(shù)t，得直線l的普通方程，圓C化為普通方程，求出圓心C到直線l：x+y-3=0的距離，由此能證明直線l與圓C相交．
（2）圓心坐標(biāo)，直線l的方程求出AB長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB上，則這、A、B構(gòu)成一個(gè)三角形，從而||PA|-|PB||＜|AB|，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上，||PA|-|PB||≤|AB|，由此能求出||PA|-|PB||的最大值．

解答 證明：（1）直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.，（t為參數(shù)）$中，
消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x+y-3=0．
圓$C：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}cosθ\\ y=1+\sqrt{2}sinθ\end{array}\right.，（θ為參數(shù)）$化為普通方程，
得：（x-1）²+（y-1）²=2，圓心C（1，1），半徑r=$\sqrt{2}$，
圓心C（1，1）到直線l：x+y-3=0的距離：d=$\frac{|1+1-3|}{\sqrt{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$＜r=\sqrt{2}$，
∴直線l與圓C相交．
解：（2）過(guò)圓心C作CD⊥AB，交AB于D，由（2）得CD=d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AB=2AD=2$\sqrt{{r}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=2×$\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\sqrt{6}$．
當(dāng)點(diǎn)P不在直線AB上，則這、A、B構(gòu)成一個(gè)三角形，∴||PA|-|PB||＜|AB|，
當(dāng)點(diǎn)P在直線AB上，||PA|-|PB||≤|AB|=$\sqrt{6}$，
∴||PA|-|PB||的最大值為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓相交的證明，考查兩線段之差的絕對(duì)值的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．