Question

11．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），兩焦點(diǎn)F₁（-1，0）、F₂（1，0），點(diǎn)$P（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)M、N是直線l上的兩點(diǎn)，且F₁M⊥l，F(xiàn)₂N⊥l．求四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

Answer 1

分析 （1）將P代入橢圓方程，由c=1，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；
（2）將直線l的方程代入橢圓C的方程中，由△=0，
化簡(jiǎn)得：m²=4k²+3．設(shè)${d_1}=|{{F_1}M}|=\frac{{|{-k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}，{d_2}=|{{F_2}N}|=\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，求得（d₁+d₂）及丨MN丨四邊形F₁MNF₂的面積$S=\frac{1}{2}|{MN}|（{d_1}+{d_2}）=\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}（{d_1}+{d_2}）$，${S^2}=\frac{1}{{{k^2}+1}}（{d_1}^2+{d_2}^2+2{d_1}{d_2}）=\frac{{16{k^2}+12}}{{{{（{k^2}+1）}^2}}}=16-4{（\frac{1}{{{k^2}+1}}-2）^2}≤12$．當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，${S_{max}}=2\sqrt{3}$．即可求得四邊形F₁MNF₂面積S的最大值．

解答 解：（1）依題意，點(diǎn)$P（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$．
∵$\frac{3}{a^2}+\frac{3}{{4{b^2}}}=1，{b^2}+{c^2}={a^2}$，
又∵c=1，∴a=2，b²=3．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；

（2）將直線l的方程y=kx+m代入橢圓C的方程3x²+4y³=12中，得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
由直線l與橢圓C僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化簡(jiǎn)得：m²=4k²+3．
設(shè)${d_1}=|{{F_1}M}|=\frac{{|{-k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}，{d_2}=|{{F_2}N}|=\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
∵${d_1}^2+{d_2}^2={（\frac{{|{-k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}+{（\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}）^2}=\frac{{2（{m^2}+{k^2}）}}{{{k^2}+1}}=\frac{{2（5{k^2}+3）}}{{{k^2}+1}}$，${d_1}+{d_2}=\frac{{|{-k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}•\frac{{|{k+m}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{|{{m^2}-{k^2}}|}}{{{k^2}+1}}=\frac{{3{k^2}+3}}{{{k^2}+1}}=3$．
∴$|{MN}|=\sqrt{{{|{{F_1}{F_2}}|}^2}-{{（{d_1}-{d_2}）}^2}}=\sqrt{4-（{d_1}^2+{d_2}^2-2{d_1}{d_2}）}=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
四邊形F₁MNF₂的面積$S=\frac{1}{2}|{MN}|（{d_1}+{d_2}）=\frac{1}{{\sqrt{{k^2}+1}}}（{d_1}+{d_2}）$，${S^2}=\frac{1}{{{k^2}+1}}（{d_1}^2+{d_2}^2+2{d_1}{d_2}）=\frac{{16{k^2}+12}}{{{{（{k^2}+1）}^2}}}=16-4{（\frac{1}{{{k^2}+1}}-2）^2}≤12$．
當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，${S^2}=12，S=2\sqrt{3}$，故${S_{max}}=2\sqrt{3}$．
所以四邊形F₁MNF₂的面積S的最大值為$2\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查函數(shù)的最值與橢圓的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．