Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{x}{x-1}，x≤0}\\{-{x^2}+6x-5，x＞0}\end{array}}\right.$，若函數(shù) y=f[f（x）-a]有6個零點，則實數(shù)a的取值范圍是-4≤a≤-1或a＜-5．

Answer 1

分析 先求出f（x）的零點，然后求出f（x）-a的值，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合以及排除法進行求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

當x≤0時，由f（x）=0得$\frac{x}{x-1}$=0，得x=0，
當x＞0時，由f（x）=0得-x²+6x-5=0，得x=1或x=5，
由y=f[f（x）-a]=0得f（x）-a=0或f（x）-a=1，或f（x）-a=5，
即f（x）=a，f（x）=a+1，f（x）=a+5，
a=-1，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有3個根，f（x）=a+5有1個根，此時共有6個根
a=-4，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有2個根，此時共有6個根

若a＞4，則f（x）=a有0個根，f（x）=a+1有0個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有0個根
若a=4，則f（x）=a有1個根，f（x）=a+1有0個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有1根
若4＞a＞3，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有0個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有2個根
若a=3，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有1個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有3個根
若3＞a＞1，則f（x）=a有3個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有5個根
若a=1，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有4個根
若1＞a＞0，則f（x）=a有3個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有5個根；
若a=0，則f（x）=0有3個根，f（x）=1有2個根，f（x）=5有0個根，此時共有5個根；
-1＜a＜0時，f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有3個根，f（x）=a+5有0個根，此時共有5個根；
若-4＜a≤-1，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有2個根，此時共有6個根；
若a=-4，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有2個根，此時共有6個根；
若-5≤a＜-4，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有3個根，此時共有7個根；
a＜-5，則f（x）=a有2個根，f（x）=a+1有2個根，f（x）=a+5有2個根，此時共有6個根
故-4≤a≤-1或a＜-5，函數(shù) y=f[f（x）-a]有6個零點
故答案為：-4≤a≤-1或a＜-5．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，求出函數(shù)的零點，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．