Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin xcos x-

3

cos（π+x）•cos x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

4

個單位，再向上平移

3

2

個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù) f（x）的解析式為=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，由此求得它的最小正周期．
（2）根據(jù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=sin（2x-

π

6

）+

3

，再利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性求得g（x）在[0，

π

4

]上的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=sin xcos x-

3

cos（π+x）•cos x=

1

2

sin 2x+

3

cos²x=

1

2

sin 2x+

3

2

（1+cos 2x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
故f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）由題意g（x）=f（x-

π

4

）+

3

2

，∴g（x）=sin[2（x-

π

4

）+

π

3

]+

3

=sin（2x-

π

6

）+

3

，
當x∈[0，

π

4

]時，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，g（x）是增函數(shù)，
∴g（x）_max=g（

π

4

）=

3 3

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)了y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，三角恒等變換，復(fù)合三角函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．