Question

如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）若矩形ABCD的一個(gè)邊AB=

3

，EF=2

3

，則另一邊BC的長為何值時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為

3

？

Answer 1

分析：（I）過點(diǎn)E作EM∥CD，交FD于M，連接AM，可得四邊形CEMD是平行四邊形．結(jié)合題意得AB∥EM且AB=EM，所以四邊形ABEM是平行四邊形，得BE∥AM，從而得到BE∥平面ADF；
（II）算出Rt△DEF中DE、DF的長，從而得到Rt△DEF的面積．再以B為頂點(diǎn)、△DEF為底面，得V_B-DEF=

1

3

S_△DEF×BC，用等體積轉(zhuǎn)換得V_B-DEF=V_F-BDE=

3

，從而算出BC的長，得當(dāng)BC=

3

2

時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為

3

．

解答：解：（I）過點(diǎn)E作EM∥CD，交FD于M，連接AM
∵CE∥DF，EM∥CD，∴四邊形CEMD是平行四邊形．
由此可得EM∥CD且EM=CD
∵AB∥CD且AB=CD，∴AB∥EM且AB=EM，
得四邊形ABEM是平等四邊形，∴BE∥AM，
∵BE?平面ADF，AM?平面ADF，
∴BE∥平面ADF；
（II）由EF=2

3

，EM=AB=

3

，得FM=3且∠EFM=30°
由∠DEF=90°，可得FD=4，從而DE=2
∵BC⊥CD，BC⊥DF，CD∩DF=D，∴BC⊥平面CDEF
∴V_F-BDE=V_B-DEF=

1

3

S_△DEF×BC
∵S_△DEF=

1

2

×DE×EF=2

3

，V_F-BDE=

3

，
∴BC=

3VF-BDE

S △DEF

=

3

2

綜上所述，當(dāng)BC=

3

2

時(shí)，三棱錐F-BDE的體積為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊四棱錐，求證線面平行并且求錐體的體積，著重考查了線面平行、垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．