Question

如圖，F(xiàn)D垂直于矩形ABCD所在平面，CE∥DF，∠DEF=90°．
（1）求證：BE∥平面ADF；
（2）若矩形ABCD的一個(gè)邊AB=3，另一邊BC=2

3

，EF=2

3

，求幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面圖形矩形ABCD可得BC∥AD，由線面平行的判定可得BC∥平面ADF，由CE∥DF可得CE∥平面DCF．由面面平行的判定可得平面BCE∥平面ADF，進(jìn)而得到結(jié)論．
（2）根據(jù)圖形，要將幾何體的體積轉(zhuǎn)化為：V_ABCDEF=V_F-ABD+V_B-CEFD在梯形CEFD中，求得CE=3

3

，DF=4

3

．再由棱錐體積分別求解．最后求和．

解答：解：（1）由矩形ABCD得BC∥AD，推出BC∥平面ADF，由CE∥DF得CE∥平面DCF．
所以平面BCE∥平面ADF，從而BE∥平面DCF．（6分）
（2）連接BD，幾何體ABCDEF的體積V_ABCDEF=V_F-ABD+V_B-CEFD
在梯形CEFD中，EF⊥DE，CE⊥CD，CE⊥DF，由CD=3，EF=2

3

解得：CE=3

3

，DF=4

3

．
∴VF-ABD=

1

3

×

1

2

AB•AD•DF=

1

6

×3×2

3

×4

3

=12
VB-CEFD=

1

3

×

1

2

(CE+DF)•DC•BC=21
V_ABCDEF=V_F-ABD+V_B-CEFD=33

點(diǎn)評：本題主要考查線面，面面平行，垂直的判定定理和性質(zhì)定理的靈活運(yùn)用，同時(shí)還考查了幾何休的體積，往往通過轉(zhuǎn)化，利用割補(bǔ)法求解，屬中檔題．