Question

（2012•濟南二模）過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）（c＞0），作圓x²+y²=

a2

4

的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，則雙曲線的離心率為

10

2

．

Answer 1

分析：判斷出E為PF的中點，據(jù)雙曲線的特點知原點O為兩焦點的中點；利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長度及判斷出PF′垂直于PF；通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，
∴E為PF的中點，令右焦點為F′，則O為FF′的中點，
則PF′=2OE=a，
∵E為切點，
∴OE⊥PF
∴PF′⊥PF
∵PF-PF′=2a
∴PF=PF′+2a=3a
在Rt△PFF′中，PF²+PF′²=FF′²
即9a²+a²=4c²
⇒所以離心率e=

c

a

=

10

2

故答案為：

10

2

．

點評：本小題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．