Question

2．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A₁C₁，BC的中點．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）求證：C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）求三棱錐E-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直三棱柱側棱與底面垂直可得BB₁⊥AB，結合已知AB⊥BC，得到AB⊥平面B₁BCC₁，從而得到平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）取AB的中點G，連接EG，F(xiàn)G．由三角形中位線定理可得GF∥EC₁，且GF=EC₁，得到四邊形FGEC₁為平行四邊形，進一步得到C₁F∥EG．由線面平行的判定得到C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）由已知求解直角三角形得到AB，求得底面積，代入三棱錐體積公式求得三棱錐E-ABC的體積．

解答 （Ⅰ）證明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵BB₁⊥底面ABC，∴BB₁⊥AB．
又∵AB⊥BC，BB₁∩BC=B，∴AB⊥平面B₁BCC₁，
又AB?平面ABE，∴平面ABE⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）證明：取AB的中點G，連接EG，F(xiàn)G．
∵E，F(xiàn)，G分別是A₁C₁，BC，AB的中點，
∴FG∥AC，且$FG=\frac{1}{2}AC$，$E{C_1}=\frac{1}{2}{A_1}{C_1}$．
∵AC∥A₁C₁，且AC=A₁C₁，∴GF∥EC₁，且GF=EC₁，
∴四邊形FGEC₁為平行四邊形，
∴C₁F∥EG．
又∵EG?平面ABE，C₁F?平面ABE，∴C₁F∥平面ABE；
（Ⅲ）解：∵AA₁=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴$AB=\sqrt{A{C^2}-B{C^2}}=\sqrt{3}$．
∴三棱錐E-ABC的體積$V=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1×2=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行、平面與平面垂直的判定，考查棱錐體積的求法，靈活運用中點推出線線平行是解答該題的關鍵，是中檔題．