Question

設函數(shù)．
（Ⅰ） 討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若x≥0時，恒有f（x）≤ax³，試求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）令，試證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）先求導數(shù)，再求出f'（x）＞0時x的范圍；并且求出f'（x）＜0時x的范圍；進而解決單調性問題．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+）-ax³．則g′（x）=，令h（x）=，求其導數(shù)，下面對a進行分類討論：（1）當a≥時，（2）當0＜a＜時，（3）當a≤0時，h′（x）＞0，最后綜合得出實數(shù)a的取值范圍．
（III）在（II）中取a=，則x∈[0，]，時，x-ln（x+）＞x³，即x³+ln（x+）＜x，令x=（）²ⁿ，利用等比數(shù)列求和公式即可證明結論．
解答：解：（I）函數(shù)的定義域為R，
由于f′（x）=1-≥0，
知f（x）是R上的增函數(shù)．
（II）令g（x）=f（x）-ax³=x-ln（x+）-ax³．
則g′（x）=，
令h（x）=，
則h′（x）=，
（1）當a≥時，h′（x）≤0，從而h（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，因h（0）=0，則x≥0時，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，進而g（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，
注意g（0）=0，則x≥0時，g（x）≤0，也即f（x）≤ax³，
（2）當0＜a＜時，在[0，]，h′（x）＞0，從而x∈[0，]時，也即f（x）＞ax³，
（3）當a≤0時，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax³，
綜合，實數(shù)a的取值范圍[，+∞）．
（III）在（II）中取a=，則x∈[0，]，時，x-ln（x+）＞x³，即x³+ln（x+）＜x，
令x=（）²ⁿ，則＜（）²ⁿ，
∴
點評：本小題主要考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．解決此類問題的關鍵是熟練掌握求導該生并且利用導數(shù)解決函數(shù)的單調區(qū)間問題．