Question

6．若b_m為數(shù)列{2ⁿ}中不超過Am³（m∈N^*）的項數(shù)，2b₂=b₁+b₅且b₃=10，則正整數(shù)A的值為64或65．

Answer 1

分析 由題意可得：${a}_{n}={2}^{n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，設(shè)b₁=t，即數(shù)列{a_n}中，不超過A的項恰有t項，則2^t≤A＜2^t+1，同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，可得d＜4，d為正整數(shù)，得出d=1，2，3，分類討論后求得滿足條件的正整數(shù)A的值．

解答 解：依題意：${a}_{n}={2}^{n}$，f（1）=A，f（2）=8A，f（5）=125A，
設(shè)b₁=t，即數(shù)列{a_n}中，不超過A的項恰有t項，
∴2^t≤A＜2^t+1，
同理：2^t+d≤8A＜2^t+d+1，2^t+2d≤125A＜2^t+2d+1，
可得：2^t≤A＜2^t+1，2^t+d-3≤A＜2^t+d-2，$\frac{{2}^{t+2d}}{125}≤A＜\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$，
故max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}≤A＜min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}，
由以下關(guān)系：2^t+d-3＜2^t+1，$\frac{{2}^{t+2d}}{125}＜{2}^{t+d-2}$，得d＜4，
∵d為正整數(shù)，∴d=1，2，3．
當d=1時，max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}=max{${2}^{t}，\frac{{2}^{t}}{4}，\frac{4×{2}^{t}}{125}$}=2^t，
min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}=min{${2}^{t+1}，\frac{{2}^{t}}{2}，\frac{8×{2}^{t}}{125}$}=$\frac{8×{2}^{t}}{125}$＜2^t，不合題意，舍去；
當d=2時，max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}=max{${2}^{t}，{2}^{t-1}，\frac{16×{2}^{t}}{125}$}=2^t，
min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}=min{${2}^{t+1}，{2}^{t}，\frac{32×{2}^{t}}{125}$}=$\frac{32×{2}^{t}}{125}$＜2^t，不合題意，舍去；
當d=3時，max{${2}^{t}，{2}^{t+d-3}，\frac{{2}^{t+2d}}{125}$}=max{${2}^{t}，{2}^{t}，\frac{64×{2}^{t}}{125}$}=2^t，
min{${2}^{t+1}，{2}^{t+d-2}，\frac{{2}^{t+2d+1}}{125}$}=min{${2}^{t+1}，{2}^{t+1}，\frac{128×{2}^{t}}{125}$}=$\frac{128×{2}^{t}}{125}$＞2^t，適合題意．
此時2^t≤A＜$\frac{128}{125}•{2}^{t}$，b₁=t，b₂=t+3，b₅=t+6，∴t+3≤b₃≤t+6．
∵b₃=10，∴4≤t≤7，
∵t為整數(shù)，∴t=4，t=5，t=6或t=7．
∵f（3）=27A，b₃=10，
∴2¹⁰≤27A＜2¹¹，∴$\frac{{2}^{10}}{27}$≤A＜$\frac{{2}^{11}}{27}$．
當t=4時，2⁴≤A＜$\frac{{2}^{11}}{125}$，∴無解．
當t=5時，2⁵≤A＜$\frac{{2}^{12}}{125}$，∴無解．
當t=6時，2⁶≤A＜$\frac{{2}^{13}}{125}$，∴64≤A＜$\frac{{2}^{13}}{125}$．
當t=7時，2⁷≤A＜$\frac{{2}^{14}}{125}$，∴無解．
則2⁶≤A＜$\frac{{2}^{13}}{125}$．
∵A∈N^*，∴A=64或A=65．
綜上：A=64或65．
故答案為：64或65．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，入手困難，難度較大．