Question

【題目】如圖，已知四棱錐的底面是邊長為的菱形，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，點(diǎn)在平面的射影為，為棱上一點(diǎn)，

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若為棱的中點(diǎn)，，求直線與平面所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】(Ⅰ)詳見解析(Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）推導(dǎo)出BC⊥PO，BC⊥DE，從而BC⊥平面PED，由此能證明平面PED⊥平面BCF．

（Ⅱ）設(shè)AC∩BD＝Q，以Q為原點(diǎn)，QB，QC分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線CF與平面PAB所成角的正弦值．

（Ⅰ）平面，平面，

依題意得為等邊三角形，為棱的中點(diǎn)，

又平面，平面

又平面，平面平面.

（Ⅱ）設(shè)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，

得，

，故直線與平面所成角的正弦值為