Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點的圓．已知曲線C₁上的點M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）對應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$，射線θ=$\frac{π}{3}$與曲線C₂交于點D（1，$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若點A（ρ₁，θ），B（ρ₂，θ+$\frac{π}{2}$）在曲線C₁上，求$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）及對應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$，得a=2，b=1，由此能求出曲線C₁的參數(shù)方程，進(jìn)而得到曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè)圓C₂的半徑為R，曲題意圓C₂的方程為（x-R）²+y²=R²，將點D（1，$\frac{π}{3}$）代入ρ=2Rcosθ，得R=1，由此能求出曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）由點A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$）在曲線C₁上，得到$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}+{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）=1$，由此能求出$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$的值．

解答 解：（Ⅰ）將M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）及對應(yīng)的參數(shù)φ=$\frac{π}{3}$代入$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1，
∴曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），
∴曲線C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，
設(shè)圓C₂的半徑為R，曲題意圓C₂的方程為ρ=2Rcosθ，
即（x-R）²+y²=R²，
將點D（1，$\frac{π}{3}$）代入ρ=2Rcosθ，得1=2Rcos$\frac{π}{3}$，即R=1，
∴曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+y²=1．
（Ⅱ）∵點A（ρ₁，θ），B（${ρ}_{2}，θ+\frac{π}{2}$）在曲線C₁上，
∴$\frac{{{ρ}_{1}}^{2}co{s}^{2}θ}{4}$+${{ρ}_{1}}^{2}si{n}^{2}θ=1$，$\frac{{{ρ}_{2}}^{2}co{s}^{2}（θ+\frac{π}{2}）}{4}+{{ρ}_{2}}^{2}si{n}^{2}（θ+\frac{π}{2}）=1$，
∴$\frac{1}{{{ρ}_{1}}^{2}}+\frac{1}{{{ρ}_{2}}^{2}}$=（$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+si{n}^{2}θ$）+（$\frac{si{n}^{2}θ}{4}+co{s}^{2}θ$）=$\frac{5}{4}$．

點評 本題考查曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查代數(shù)式求值，考查參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．