Question

3．（1）證明不等式e^x≥x+1
（2）若存在x∈（0，+∞），使不等式$\frac{2x-m}{{e}^{x}-x}$＞x成立，求m的取值范圍
（3）設P，Q分別是函數(shù)y=lnx與y=e^x圖象上的動點，試證明|PQ|$≥\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）構造函數(shù)f（x）=e^x-x-1，x＞0，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得f（x）最小值即得，f（x）＞f（0）=0，不等式即可得證，
（2）先判斷e^x-x＞1，則不等式$\frac{2x-m}{{e}^{x}-x}$＞x成立等價于m＜-x（e^x-x-2），令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），利用導數(shù)法可求得h（x）_max，從而可得m的取值范圍．
（3）函數(shù)y=lnx與y=e^x圖象關于y=x對稱，分別求出過點P，Q的切點，即可求出最小距離．

解答 證明：（1）令f（x）=e^x-x-1，x＞0，
則f′（x）=e^x-1＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴對任意x∈（0，+∞），有f（x）＞f（0），
而f（0）=e⁰-0-1=0，∴f（x）＞0，
即e^x＞x+1．
（2）：設g（x）=e^x-x
∴g′（x）=e^x-1，
當x＞0時，g′（x）＞0，g（x）=e^x-x在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
即g（x）＞g（0）=1．
∴e^x-x＞1，
∴$\frac{2x-m}{{e}^{x}-x}$＞x?2x-m＞x（e^x-x），
∴m＜-x（e^x-x-2），
令h（x）=-x（e^x-x-2）（x＞0），
則h′（x）=-（e^x-x-2）-x（e^x-1）=（x+1）（2-e^x），
當0＜x＜ln2時，h′（x）＞0；當x＞ln2時，h′（x）＜0；
∴當x=ln2時，h（x）取得極大值，也是最大值，為h（ln2）=-ln2（e^ln2-ln2-2）=ln²2．
∴m＜ln²2．
（3）函數(shù)y=lnx與y=e^x圖象關于y=x對稱，
∴y′=$\frac{1}{x}$與y′=e^x，
分別設切點為（x_P，y_P），（x_Q，y_Q），
∴$\frac{1}{{x}_{P}}$=1，${e}^{{x}_{Q}}$=1，
∴x_P=1，x_Q=0，
∴y_P=0，y_Q=1，
∴|PQ|≥$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=2．

點評 本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查導數(shù)的綜合應用，考查等價轉化思想與運算求解能力，屬于中檔題．