（2010•上海）在平面上，給定非零向量
b
，對任意向量
a
，定義
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
．
（1）若
a
=（2，3），
b
=（-1，3），求
a′
；
（2）若
b
=（2，1），證明：若位置向量
a
的終點在直線Ax+By+C=0上，則位置向量
a′
的終點也在一條直線上；
（3）已知存在單位向量
b
，當位置向量
a
的終點在拋物線C：x2=y上時，位置向量
a′
終點總在拋物線C′：y2=x上，曲線C和C′關(guān)于直線l對稱，問直線l與向量
b
滿足什么關(guān)系？
分析：（1）根據(jù)題意，算出
a
•
b
=7，
|b|
2=10，代入
a′
的表達式并化簡整理，即可得到
a′
=（
17
5
，-
6
5
）；
（2）設(shè)
a
=（x'，y'），終點在直線Ax+By+C=0上，由題中
a′
的表達式解出
a′
=（x，y）滿足的關(guān)系式，從而得到點
（
-3x-4y
5
，
-4x+3y
5
）在直線Ax+By+C=0上，化簡整理得到直線（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，說明向量
a′
的終點也在一條直線上；
（3））設(shè)
a
=（x，y），單位向量
b
=（cosθ，sinθ），解出
a′
關(guān)于x、y和θ的坐標形式，結(jié)合
a
的終點在拋物線x2=y上且
a′
終點在拋物線y2=x上，建立關(guān)于x、y和θ的方程，化簡整理得到
b
=±（
2
2
，
2
2
）．再由曲線C和C′關(guān)于直線l：y=x對稱，算出l的方向向量
d
滿足
d
•
b
=0，從而得到直線l與向量
b
垂直．
解答：解：（1）∵
a
=（2，3），
b
=（-1，3），
∴
a
•
b
=7，
|b|
2=10，可得
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2×7
10
（-1，3）=（-
7
5
，
21
5
）
因此
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（2，3）-（-
7
5
，
21
5
）=（
17
5
，-
6
5
）；
（2）設(shè)
a
=（x'，y'），終點在直線Ax+By+C=0上
算出
a
•
b
=2x'+y'，
|b|
2=5，
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
2(2x′+y′)
5
（2，1）=（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
），
∴
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=（x'，y'）-（
8x′+4y′
5
，
4x′+2y′
5
）=（
-3x′-4y′
5
，
-4x′+3y′
5
）
因此，若
a′
=（x，y），滿足
x=
-3x′-4y′
5
y=
-4x′+3y′
5
，得到
x′=
-3x-4y
5
y′=
-4x+3y
5

∵點（
-3x-4y
5
，
-4x+3y
5
）在直線Ax+By+C=0上
∴A×
-3x-4y
5
+B×
-4x+3y
5
+C=0，化簡得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全為零，可得以上方程是一條直線的方程
即向量
a′
的終點也在一條直線上；
（3）∵
b
是單位向量，
∴設(shè)
a
=（x，y），
b
=（cosθ，sinθ），可得
a
•
b
=xcosθ+ysinθ，
所以
a′
=
a
-
2(
a
•
b
)
|
b
|2
b
=
a
-2（xcosθ+ysinθ）
b
=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵
a
的終點在拋物線x2=y上，且
a′
終點在拋物線y2=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
化簡整理，通過比較系數(shù)可得cosθ=
2
2
，sinθ=-
2
2
或cosθ=-
2
2
，sinθ=
2
2

∴
b
=±（
2
2
，
2
2
），
∵曲線C和C′關(guān)于直線l：y=x對稱，
∴l(xiāng)的方向向量
d
=（1，1）．
可得
d
•
b
=0，即
d
⊥
b
，因此直線l與向量
b
垂直．
點評：本題給出向量的關(guān)系式，求證當向量
a
終點在一條直線上時，向量
a′
的終點也在一條直線上等問題．著重考查了向量的數(shù)量積運算、向量的坐標運算和曲線與方程的討論等知識，屬于中檔題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•上海）在（2x2+
1x
）6的二項展開式中，常數(shù)項是
60
60
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•武昌區(qū)模擬）某單位選派甲、乙、丙三人組隊參加“2010上海世博會知識競賽”，甲、乙、丙三人在同時回答一道問題時，已知甲答對的概率是
3
4
，甲、丙兩人都答錯的概率是
1
12
，乙、丙兩人都答對的概率是
1
4
，規(guī)定每隊只要有一人答對此題則記該隊答對此題．
（Ⅰ）求該單位代表隊答對此題的概率；
（Ⅱ）此次競賽規(guī)定每隊都要回答10道必答題，每道題答對得20分，答錯除該題不得分外還要倒扣去10分．若該單位代表隊答對每道題的概率相等且回答任一道題的對錯對回答其它題沒有影響，求該單位代表隊必答題得分的期望（精確到1分）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•上海模擬）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AH為BC邊上的高，在以下結(jié)論中：
①
AH
•(
AB
+
BC
)=
AH
•
AB
；
②
AH
•
AC
=
AH
2；
③
AC
•
AH
|
AH
|
=c•sinB；
④
BC
•(
AC
-
AB
)=b2+c2-2bc•cosA．
其中正確結(jié)論的序號是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•上海模擬）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=
1
3
FD，F(xiàn)B⊥FC，F(xiàn)B=FC=2，E是BC的中點，四面體P-BCF的體積為
8
3
．
（1）求異面直線EF和PC所成的角；
（2）求點D到平面PBF的距離．

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