Question

一個四棱椎的三視圖如圖所示：
（I）求證：PA⊥BD；
（II）在線段PD上是否存在一點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°？若存在，求

|DQ|

|DP|

的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）由三視圖，可知四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形，所以該四棱錐是一個正四棱錐．作出它的直觀圖，根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可證出PA⊥BD；
（2）假設(shè)存在點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，可證出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，結(jié)合三角函數(shù)的計算可得

DQ

DP

=

1

4

．

解答：解：（I）由三視圖，可知四棱錐的底面是正方形，側(cè)面是全等的等腰三角形
∴四棱錐P-ABCD為正四棱錐，底面ABCD為邊長為2的正方形，且PA=PB=PC=PD，
連接AC、BD交于點O，連接PO．  …（3分）
∵PO⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，∴BD⊥PO，
又∵BD⊥AC，PO、AC是平面PAC內(nèi)的相交直線
∴BD⊥平面PAC，
結(jié)合PA⊆平面PAC，得BD⊥PA．…（6分）
（II）假設(shè)存在點Q，使二面角Q-AC-D的平面角為30°
∵AC⊥BD，AC⊥PO，BD、PO是平面PBD內(nèi)的相交直線
∴AC⊥平面PBD
∴AC⊥OQ，可得∠DOQ為二面角Q-AC-D的平面角，…（8分）
由三視圖可知，BC=2，PA=

7+1

=2

2

，
在Rt△POD中，PD=2

2

，OD=

2

，則∠PDO=60°，
在△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．所以DP⊥OQ．…（10分）
結(jié)合OD=

2

，得QD=ODcos60°=

2

2

．可得

DQ

DP

=

2 2

2 2

=

1

4

． 
因此存在PD上點Q，當(dāng)DQ=

1

4

PD時，二面角Q-AC-D的平面角為30°…（12分）

點評：本題給出四棱錐的三視圖，要求將其還原成直觀圖并探索二面角的大小，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)和對三視圖的理解等知識，屬于中檔題．