Question

（2013•浙江模擬）已知函數(shù)f （x）=x³-3ax+1，a∈R．
（Ⅰ） 求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 求所有的實(shí)數(shù)a，使得不等式-1≤f （x）≤1對x∈[0，

3

]恒成立．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，分a≤0和a＞0兩種情況，分別分析導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而可得不同情況下f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ） 根據(jù)（I）中的結(jié)論，分a≤0，0＜a＜3和a≥3三種情況分析不等式-1≤f （x）≤1對x∈[0，

3

]是否恒成立，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：（I）∵f （x）=x³-3ax+1，
∴f′（x）=3x²-3a，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f （x）的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）＞0得x＜-

a

或x＞

a

故f （x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-

a

）和（

a

，+∞），f （x）的單調(diào)減區(qū)間為（-

a

，

a

）
（II）當(dāng)a≤0時(shí)，由（I）可知f （x）在[0，

3

]遞增，且f（0）=1，此時(shí)無解；
當(dāng)0＜a＜3時(shí)，由（I）可知f （x）在∈[0，-

a

）上遞減，在（

a

，

3

]遞增，
∴f （x）在[0，

3

]的最小值為f（

a

）=1-2a

a

∴

f( a )≥1 f( 3 )≤1 f(0)≤1

，即

a a ≤1 a≥1

解得：a=1
當(dāng)a≥3時(shí)，由（I）可知f （x）在[0，

3

]上遞減，且f（0）=1，
∴f(

3

)=3

3

-3

3

a+1≥-1
解得：a≤1+

2 3

9

此時(shí)無解
綜上a=1

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查推理論證能力