Question

若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)．

（1）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設(shè)（1）中“平方遞推數(shù)列”的前項(xiàng)積為，即，求；

（3）在（2）的條件下，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求使 的的最小值．

 

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）等比數(shù)列的判定方法：（1）定義法：若是常數(shù)，則是等比數(shù)列；中項(xiàng)公式法：若數(shù)列中，，則是等比數(shù)列；通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成；（2）熟記等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，，注意利用性質(zhì)把數(shù)列轉(zhuǎn)化，利用等比數(shù)列前項(xiàng)和；（3）利用條件列式子，等比數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式對函數(shù)與方程、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等思想的運(yùn)用，是高考的一種重要的考向.

試題解析：【解析】
（1）由題意得：，即 ，則是“平方遞推數(shù)列”.

對兩邊取對數(shù)得 ，

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 4分

（2）由（1）知

8分

（3）

又，即

又，所以. 14分

考點(diǎn)：（1）證明某個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求前項(xiàng)和；（3）使成立的最小值.