Question

在△ABC中，三邊BC、AC、AB的 長(zhǎng)分別為a、b、c，若a=4，E為邊BC的中點(diǎn)．
（1）若

AB

•

AC

=1，求BC邊上的中線AE的長(zhǎng)；
（2）若△ABC面積為3

2

，求

AB

•

AC

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用,向量在幾何中的應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用

AB

•

AC

=1，以及余弦定理列出方程組，通過cos∠AEB+cos∠AEC=0，即可求BC邊上的中線AE的長(zhǎng)；
（2）利用△ABC面積為3

2

，以及余弦定理求出bc的最值，然后利用基本不等式求

AB

•

AC

的最小值．

解答： 解：（1）由題意知

bccosA=1 b2+c2-2bccosA=16

可得b²+c²=18，…（2分）
又

c2=AE2+4-4AEcos∠AEB b2=AE2+4-4AEcos∠AEC

，且cos∠AEB+cos∠AEC=0，
相加得AE=

5

．…（6分）
（2）由條件得

1 2 bcsinA=3 2 b2+c2-2bccosA=16

即

bcsinA=6 2 bccosA= b2+c2-16 2

平方相加得72+(

b2+c2-16

2

)2=b2c2，…（10分）72+(

b2+c2-16

2

)2=b2c2≤

(b2+c2)2

4

⇒b2+c2≥17

AB

•

AC

=bccosA=

b2+c2-16

2

≥

1

2

，
即當(dāng)b=c時(shí)，

AB

•

AC

的最小值為

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查余弦定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積以及基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．