Question

15．若$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角為60°，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}|$，則tanθ=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． -$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出圖形，將問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．

解答 解：若$\overrightarrow a+\overrightarrow b+\overrightarrow c=\overrightarrow 0$，且$\overrightarrow a$與$\overrightarrow c$的夾角為60°，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，$|{\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a}|$，
如圖，設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則∠COA=60°，以O(shè)A，OB為鄰邊作平行四邊形OADB，
則 $\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=-$\overrightarrow{c}$，∠ODB=∠AOD=120°，BD=OA，OB=$\sqrt{3}$OA．
在△OBD中，由正弦定理得：$\frac{OB}{sin∠ODB}$=$\frac{BD}{sin∠BOD}$，∴$\frac{\sqrt{3}•OA}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{OA}{sin∠BOD}$，
解得sin∠BOD=$\frac{1}{2}$，∴∠BOD=$\frac{π}{6}$，∴θ=∠BOD+∠AOD=$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{3}$=$\frac{5π}{6}$，
∴tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點評 本題考查了平面向量加法的幾何意義，正弦定理，屬于中檔題．