Question

13．已知函數(shù)f（x）=sin²x+acosx+a．
（1）當a=-$\frac{1}{2}$且x∈[0，2π]，求函數(shù)f（x）的零點；
（2）求函數(shù)f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，設(shè)cosx=t，則t∈[-1，1]，則f（t）=-t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$，根據(jù)零點和方程的根的關(guān)系，求出即可，
（2）采用配方法，得到f（x）=-（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{4}$a²+a+1，分類討論即可求出最值．

解答 解：（1）f（x）=sin²x-$\frac{1}{2}$cosx-$\frac{1}{2}$=-cos²x-$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{1}{2}$，設(shè)cosx=t，則t∈[-1，1]，
則f（t）=-t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$，
∴f（t）=-t²-$\frac{1}{2}$t+$\frac{1}{2}$=0，則t∈[-1，1]，
解得t=-1，或t=$\frac{1}{2}$，
∴cosx=-1，或cosx=$\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$或$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的零點為$\frac{π}{2}$或$\frac{3π}{2}$或$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，
（2）f（x）=sin²x+acosx+a=-cos²x+acosx+a+1=-（cosx-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{1}{4}$a²+a+1，
當-1≤$\frac{a}{2}$≤1時，即-2≤a≤2時，函數(shù)的最大值為$\frac{1}{4}$a²+a+1，最小值為$\frac{1}{4}$a²+a，
當a＜-2時，函數(shù)的最大值為0，最小值為2a，
當a＞2時，函數(shù)的最大值為2a，最小值為0．

點評 本題以三角函數(shù)為載體，考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，以及函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．