Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)均為2，M是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求證在棱CC₁上找一點(diǎn)N使得MN⊥AB₁；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角M-AB₁-N的余弦值．

Answer 1

（本小題滿分14分）
（Ⅰ）證明：連接A₁B，交AB₁于P，則PM∥A₁C，又PM?面AB₁M，A₁C?面AB₁M，
∴A₁C∥面AB₁M．（4分）
（Ⅱ）解：取B₁C₁中點(diǎn)H，連接MH，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，、、兩兩垂直，故分別以為x、y、z軸，建立如圖空間坐標(biāo)系．設(shè)CN=2（0＜a＜2），則A（），B₁（1，0，2），M（0，0，0），N（-1，0，a），∴．
由=0，有-1+2a=0，解得，故在棱CC₁上的點(diǎn)N滿足CN=，使MN⊥AB₁．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），，則，
又'則面AB₁M一個(gè)法向量．
設(shè)面AB₁N的一個(gè)法向量，

由即，取（12分）
則
=
故二面角M-AB₁-N的余弦值為．（14分）
分析：（Ⅰ）考查線面平行，常用線面平行的判定定理來證明．
（Ⅱ）屬于開放性命題，考查線線垂直，可以用立體幾何中的向量法發(fā)來解決：
建立空間直角坐標(biāo)系求出的坐標(biāo)表示，讓它們的數(shù)量積為零即可；
（Ⅲ）要求空間角，我們用立體幾何中的向量方法會(huì)更簡(jiǎn)單．要先找出二面的法向量，二面角的余弦值即是它們法向量夾角的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題是考查立體幾何的題目，其中以線面平行 線面垂直常考，處理方法 常用線面平行或垂直的判定定理來證明；至于空間角的問題，我們用立體幾何中的向量方法會(huì)更簡(jiǎn)單．此類題是高考必考題，一般為第19題，要重點(diǎn)掌握．