Question

用兩種方法證明：1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)．

Answer 1

分析：此題解法有兩種：解法一是運用放縮法來證明；將左端最后一項放大，并變成兩項之差，再用疊加法，即可．
解法二是運用數(shù)學(xué)歸納法來證明．在證明過程中，第一步實際是驗證思想，將n=2代入檢驗，第二步是關(guān)鍵一步，
尤其是從k到k+1時，要注意增添了哪幾項．

解答：解：證明：解法一（放縮法）：∵

1

n2

＜

1

(n-1)×n

∴1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

又∵

1

(n-1)×n

=

1

n-1

-

1

n

∴1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)×n

=1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)，即證．
解法二（數(shù)學(xué)歸納法）：
①當(dāng)n=2時，左端=1+

1

22

=

5

4

，右端=2-

1

2

=

3

2

=

6

4

，∴左端＜右端，即證．
②假設(shè)n=k時，有1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)恒成立，即1+

1

22

+

1

32

+…+

1

k2

＜2-

1

k

恒成立，
那么當(dāng)n=k+1時，1+

1

22

+…+

1

k2

+

1

(k+1)2

＜2-

1

k

+

1

(k+1)2

=2-

k2+k+1

(k+1)2•k

＜2-

k2+k

(k+1)2•k

=2-

1

k+1

也成立，
即當(dāng)n=k時上述原命題也成立，
綜上，由①②知，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜2-

1

n

(n≥2…，n∈N+)恒成立，即證．

點評：此題考查不等式證明．不等式證明在該題中有運用了兩種常用的證明方法，即放縮法和數(shù)學(xué)歸納法，尤其是數(shù)學(xué)歸納法適用范圍，在運用過程中注意至少有n∈N^*這個條件才行．